شرح قواعد الدرس
- تساوي الثنائي المتتالي :
الثنائي المتتالي هو الشكل التالي :
يكون الa هو المكون الأول و الb هو المكون الثاني .
في حالة التساوي :
مثال :
- جداء ديكارتي :
اذا كان لدينا المجموعات التالية :
A={a,b,c,d}
B={1,2}
فالجداء الديكارتي بينهما كالتالي :
AxB={(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2),(d,1),(d,2)}
عدد عوامل الجداء الديكارتي هو عدد عوامل المجموعة الأولى ضرب عدد عوامل المجموعة الثانية .
مثال :
A={a,b,c,d}
B={1,2}
n(AxB)=4.2=8
جداء ديكارتي ليس عملية تبديلية .
يمكن توزيع جداء ديكارتي على القوس والعكس صحيح يمكننا اخذ قوس الجداء .
مثال :
- نظام الاحداثيات :
عند تمثيل الجداء الديكارتي على مخطط البيانات فإن الخط الأفقي يمثل المجموعة الأولى والخط العامودي يمثل المجموعة الثانية .
مثال :
A={1,2,3}
B={1,2}
الخط المنقط يفيد ان القيمة غير داخلة بالمجال المقصود والخط المستقيم المتصل يعني اني كل قيمة واقعة عليه داخلة بالمجال .
النقطة المعبئة تفيد بدخول القيمة بالمجال والنقطة المفرغة تفيد بعدم الدخول القيمة بالمجال .
تظليل المساحة يعني دخول كل القيم الموجودة في المساحة المظللة .
مثال :
اذا كان هذا الجدول هو جداء AxB فان :
- العلاقة :
ان الجداء الديكارتي AxB يعني انها علاقة من A الى B .
نوجد عكس العلاقة بعكس العوامل بعد الجداء الديكارتي .
مثال :
- الدوال :
اذا كان لدينا مجموعتان الأولى A و الثانية B.
فان العلاقة ما بين أي عامل من المجموعة الأولى و عامل واحد فقط من المجموعة الثانية تسمى دالة .
ويرمز لها كالتالي :
تسمى المجموعة A منطلق الدالة .
وتسمى المجموعة B مستقر الدالة .
و تسمى المجموعة التي تحتوي على العوامل المستخدمة من المجموعة B مجموعة الصورة .
مثال :
أي من الخيارات يعبر عن دالة؟
أولا يجب ان تكون كل العوامل الموجودة في منطلق الدالة مستخدمة لذلك نستثني الخيار الرابع .
ثانيا لا يمكن استخدام عامل من منطلق الدالة مع عاملين من مستقر الدالة لذلك نستثني الخيار الثالث .
اما الخيارين الأول والثاني فانهما يمثلان دالة .
- الدالة المتباينة :
اذا كانت لدينا الدالة التالية :
وكانت الدالة تحقق الحالة التالية :
فان الدلة تمسى دالة متباينة .
- الدالة الشمولية :
واذا كانت الدالة تغطي كل عوامل مستقر الدالة فان الدالة تسمى دالة شمولية .
مثال :
هذه الدالة متباينة لأنه لا يمكن ان تكون دالتان متساويتان الى في حال استخدام نفس القيم من مجموعة المنطلق .
لكن هذه الدالة ليست شمولية لأنه النتيجة يجب ان تكون أي عدد من الاعداد الصحيحة واذا ساويناها مثلا بالأربعة نجد انا المجهول يساوي كسر ولا يوجد في مجموعة المنطلق كسور .
لإجاد قيمة دالة بالنسبة لعدد معين نعوض هذا العدد مكان المجهول .
مثال :
اذا كان ما داخل الدالة ليس فقط مجهول نساوي ما داخل الدالة بالعدد المطلوب ثم نعوض قيمة المجهول .
مثال :
- الدالة متعددة التعريف :
يمكن ان يكون للدالة معادلتين او اكثر حسب العدد الذي سيعوض .
مثال :
- الدالة المطابقة والدالة الثابتة :
الدالة المطابقة هي الدالة التي تكون نتيجتها مساوية لما داخل الدالة .
مثال :
اذا كانت الدالة مطابقة :
اما الدالة الثابتة فهي دالة نتيجتها عدد معين مهما تغير ما داخل الدالة .
مثال :
اذا كانت الدالة التالية دالة ثابتة :
يجب انا يكون امثال المجهول تساوي الصفر .
- الدالة العكسية :
اذا كانت الدالة التالية متباينة وشمولية :
فيمكن إيجاد معكوس هذه الدالة .
لإيجاد معكوس دالة :
اذا كانت معادلة من الدرجة الأولى او اي نظام اخر .
مثال :
لإيجاد معكوس هذه الدالة أولا نبدل الدالة بحرف y ونترك ال x لوحدها .
ثم نبدل كل y ب x .
ونكتب الدالة العكسية مكان ال x .
اما اذا كانت الدالة تساوي كسر كالتالي :
لإيجاد معكوس هذه الدالة فان الطريقة المختصرة هي تبديل أمثال المجهول الموجود في البسط بالعدد الغير مرتبط بمجهول في المقام مع تغير اشارتهم .
مثال :
واذا كان السؤال على الشكل التالي :
نساوي العدد المطلوب بالدالة ونعوض قيمة المجهول بما داخل الدالة .
معكوس المعكوس يعطي الدالة نفسها أي انه :
اذا طلب تعويض معادلة بالدالة نعوضها بشكل طبيعي مكان كل مجهول .
مثال :
اذا كان لدينا دالة وما داخلها معادلة او كسر واردنا إيجاد الدالة الأساسية التي يكون داخلها مجهول فقط نوجد معكوس ما داخل الدالة ونعوضه .
مثال :
- الدوال المركبة :
اذا كان لدينا الدالتان التاليات :
فان الدالة التالية تسمى دالة مركبة :
اذا اعتبرانا ان I دالة مطابقة .
اذا اردنا إيجاد معكوس دالة مركبة نعكس الدوال ونأخذ معكوس الدوال :
مثال :
- دالة المصفوفة :
دالة المصفوفة هي الدالة التالية :
- العمليات الأربعة في الدوال :
- استنتاج قيمة الدالة :
اذا كان لدينا المساواة التالية :
لإيجاد المطلوب نعوض المجهول من الواحد الى العشرة ليس بالضرورة الوصول للعشرة وندرس ما سيجري .
في حال جمع هذه المعادلات مع بعضها فان القيم المتساوية في اليمين و اليسار سوف تذهب و يبقى التالي :
التسعة هي عدد المعادلات وفي كل معادلة يوجد عدد ثلاثة عند جمعهم يصبح لدينا الشكل السابق .
- كتابة دالة بدلالة دالة أخرى :
اذا كان لدينا السؤال التالي :
ما قيمة f(x+1) بدلالة f(x) .
أولا نعوض ما داخل الدالة المطلوبة في الدالة الأساسية .
ثم نوجد معكوس الناتج .
ثم نعوضه في الدالة الأساسية .
ثم نوجد معكوس الناتج مرة أخرى .
ثم نكتب f(x).مكان كل اكس
- الدوال في نظام الاحداثيات :
عند تعويض قيمة من الاكسات في الدالة فان الناتج يكون عند تقاطع الوايات مع الاكسات على خط الدالة .
مثال :
- الدوال الخطية :
الدوال الخطية تعتمد على قاعدة واحدة .
دائما يعطى دالتان ويطلب القيمة الثالثة لإيجادها نتبع الخطوات التالية :
أولا نعوض الدالة الأولى والدالة الثانية في المعادلة الأساسية .
معادلتين بمجهولين يمكننا حلها عن طريق طرح الأولى من الثانية ونوجد القيم .
ثم نعوض القيمة المطلوبة .
