شرح قواعد الدرس
- الاعداد العقدية :
في جميع أبحاث الرياضيات نستخدم الاعداد الحقيقية التي تنتمي الى مجموعة التعريف R .
اما في بحث الاعداد العقدية فإننا نستخدم الاعداد العقدية التي تنتمي الى مجموعة التعريف C .
يرمز للعدد العقدي ب i .
مثال :
- الاعداد العقدية في معادلات الدرجة الثانية :
في معادلات الدرجة ثانية كان لدينا قاعدة ان اذا كانت الدلتا اكبر او تساوي الصفر فإن للمعادلة حلول واذا كانت الدلتا اصغر من الصفر فهذا ان المعادلة ليس لها حل .
لكن في حقيقة الامر اذا كانت الدلتا اصغر من الصفر فإنا حلولها تنتمي الى الاعداد العقدية .
مثال :
- القسم الحقيقي و القسم التخيلي :
في المعادلة التي تحتوي على اعداد عقدية تسمى الحدود التي ليست مرتبطة بعدد عقدي بالقسم الحقيقي و تسمى الحدود المرتبطة بعدد عقدي بالقسم التخيلي .
مثال :
- تساوي عددان عقديان :
عند تساوي عددان عقديان تتساوى الأقسام الحقيقية مع بعضها والاقسام التخيلية مع بعضها .
مثال :
- مرافق العدد العقدي :
نوجد مرافق العدد العقدي عن طريق عكس إشارة القسم التخيلي .
مثال :
- جمع و طرح الاعداد العقدية :
عند جمع او طرح عددان عقديان نجمع او نطرح القسم الحقيقي مع القسم الحقيقي و القسم التخيلي مع القسم التخيلي .
مثال :
- ضرب الاعداد العقدية :
عند ضرب عددان عقديان تتم العملية بشكل طبيعي ولا ننسى انا تربع ال i تساوي الناقص واحد .
مثال :
- قسمة الاعداد العقدية :
في حال القسمة ,اذا كان المقام عدد عقدي فإننا نضرب البسط و المقام بمرافق المقام للتخلص من العدد العقدي الموجود في المقام .
مثال :
- حل المعادلات التي تحتوي على عدد عقدي ومرافقه :
اذا كان لدينا معادلة تحتوي على عدد عقدي و مرافقه نفرضهم على الشكل التالي ونحل المعادلة لإيجاد العدد العقدي .
مثال :
- قوى العدد العقدي :
اذا كان اس العدد العقدي اكبر من الأربعة نقسمه على أربعة وتكون النتيجة حسب الباقي .
مثال :
- القيمة المطلقة للعدد العقدي :
في معادلة العدد العقدي يكون القسم الحقيقي على الخط الافقي و القسم التخيلي على الخط العامودي .
القيمة المطلقة للعدد العقدي تعني البعد بين النقطة التي ترمز لها المعادلة و نقطة الصفر .
تخضع القيمة المطلقة للعدد العقدي الى القواعد التالية :
مثال :
- معادلة الدائرة في الاعداد العقدية :
المعادلة التالية تدل الى دائرة :
اذا كانت قيمة العدد العقدي المطلقة تساوي عددا ما هذا يعني ان هذا العدد العقدي ممكن ان يكون أي قيمة تبعد عن المركز بمقدار قيمة العدد العقدي المطلقة .
اما اذا كانت قيمة العدد العقدي المطلقة اصغر من عدد ما هذا يعني ان هذا العدد العقدي ممكن أي يكون أي قيمة ضمن مساحة الدائرة التي تبعد عن المركز بمقدار قيمة العدد العقدي المطلقة .
اما اذا كانت قيمة العدد العقدي المطلقة اكبر من عدد ما هذا يعني ان هذا العدد العقدي ممكن أي يكون أي قيمة خارج مساحة الدائرة التي تبعد عن المركز بمقدار قيمة العدد العقدي المطلقة .
في الحالتين السابقتين اذا كانت إشارة الأكبر او الأصغر موجودة مع مساواة هذا يعني انا جدار الدائرة يصلح كقيمة للعدد العقدي لذلك تكون الدائرة مكونة من خط مستقيم ام اذا لم تكن هنالك إشارة مع الأكبر او الأصغر هذا يعني القيم الموجودة على جدار الدائرة غير صالحة كقيمة للعدد العقدي لذلك تكون الدائرة مكونة من خط متقطع .
مثال :
- إيجاد معادلة الموقع للعدد العقدي :
لإيجاد المعادلة نفرض ان العدد العقدي هو المعادلة التالية ونحل على هذا الأساس ويكون الناتج هو معادلة المكان لهذا العدد العقدي .
مثال :
اما لإيجاد مظهر العدد العقدي على المخطط البياني :
اذا كان العدد العقدي على شكل معادلة نفرض المجهول صفر ونوجد المجهول الاخر ثم نوصل النقطتين ببعضهم ويكون العدد العقدي على هذا الخط .
الأمثلة مبنية على المثال السابق .
مثال :
اما اذا كان العدد العقدي عبارة عن متراجحة أولا نوجد الخط ثم نترك ال y لوحدها اذا كانت ال y اكبر من الباقي نظلل اعلى ويمين الخط اما اذا كانت اصغر فنظلل اسفل ويسار الخط .
اذا كان السؤال على الشكل التالي :
لإيجاد القيمة الأكبر نوجد القيمة المطلقة الخاصة بالعدد العقدي المعلوم ونجمع معها اكبر قيمة ممكنة للعدد العقدي المجهول .
ولإيجاد اصغر قيمة نطبق نفس الخطوات لكن هذه المرة نطرح اكبر قيمة ممكنة للعدد العدد العقدي المجهول .
- التمثيل القطبي :
التمثيل الجبري للعدد القطبي يكون على الشكل التالي :
اما التمثيل القطبي يكون على الشكل التالي :
أولا لنفترض انا لدينا العدد العقدي z .
ثانيا لإيجاد زاوية العدد العقدي نطبق التالي :
ثالثا نوجد القسم التخيلي و القسم الحقيقي بدلالة الساين و الكوساين .
بهذه الطريقة نصل الى التمثيل القطبي للعدد القطبي ويكتب بطريقة مختصرة على الشكل التالي :
مثال :
اوجد التمثيل القطبي للعدد العقدي التالي :
ملاحظة :
اذا كانت أمثال القسم الحقيقي والقسم التخيلي فإن الزاوية تكون نفسها
اما اذا كانت أمثال القسم الحقيقي سالبة وامثال القسم التخيلي موجبة تكون الزاوية هي 180 ناقص الزاوية .
اما اذا كان أمثال القسم الحقيقي والتخيلي سلبيان تكون الزاوية 180 زائد الزاوية .
أخيرا اذا كان أمثال القسم الحقيقي موجبة وامثال القسم التخيلي سالبة تكون الزاوية 360 ناقص الزاوية .
- العمليات في التمثيل القطبي :
عند ضرب عددان قطبيان نضرب القيمة المطلقة للعددين القطبيين ببعضهم و نجمع الزوايا .
وعند القسمة أيضا نقسم االقيم المطلقة على بعضها و نطرح الزوايا .
عند رفع العدد العقدي لقوة فإننا نرفع القيمة المطلقة للعدد العقدي لهذه القوة و نضرب الزاوية بالقوة المرفوع لها .
في حال جذر العدد العقدي نجذر القيمة المطلقة للعدد العقدي و نقسم الزاوية على قوة الجذر .
في هذه الحالة يكون للعدد العقدي اكثر من جذر .
مثال :
مثال :
