شرح قواعد الدرس
- المجموعات :
المجموعة هي عدة عناصر بخواص معينة .
المجموعة الفارغة :
هي المجموعة التي لا تحوي أي عنصر .
المجموعات المتساوية :
هم المجموعات التي تشترك بنفس العناصر .
- عدد العناصر :
يتم التعبير عن عدد العناصر الموجودين بالمجموعة كالتالي :
- الانتماء :
يمكن تحديد ان العنصر ينتمي او لا ينتمي الى المجموعة بالطريقة التالية :
- الاحتواء :
الاحتواء هو ان تكون هنالك مجموعة تحتوي على كامل عناصر مجموعة أخرى .
مثال :
- المجموعة المعادلة :
هي المجموعة التي تساوي مجموعة أخرى من حيث عدد العناصر .
مثال :
- المجموعة الأساسية :
هي المجموعة التي تضم كل المجموعات الموجودة و يرمز لها U او E .
مثال :
- المجموعة الجزئية :
هي المجموعة التي تتكون من بعض عناصر مجموعة أخرى .
مثال :
في هذه الحالة B هي مجموعة جزئية لل A وفي نفس الوقت المجموعة A تحوي المجموعة B .
المجموعة الخالية يعبر عنها بفاي .
إذا كان A,B,C مجموعات عشوائية و U مجموعة أساسية :
- التعابير الصحيحة :
- عدد العناصر :
اذا كانت المجموعة تحتوي على مجموعة أخرى كعنصر تحسب هذه المجموعة عنصر واحد .
مثال :
- التقاطع :
التقاطع يعني العناصر المشتركة بين مجموعتين .
مثال :
تقاطع المجموعة مع الفاي هو فاي .
تقاطع المجموعة مع نفسها يعطي المجموعة نفسها .
تقاطع المجموعة مع المجموعة الأساسية يعطي المجموعة نفسها .
التقاطع عملية تبديلية ويمكن تبديل أماكن الاقواس .
إذا كانت مجموعة تحتوي مجموعة أخرى فان التقاطع بينهما يساوي المجموعة الصغيرة .
- الاجتماع :
الاجتماع بين مجموعتين هو جمع العناصر بدون تكرارها .
مثال :
اجتماع أي مجموعة بالفاية يساوي المجموعة ذاتها .
اجتماع المجموعة مع نفسها يعطي المجموعة نفسها .
اجتماع المجموعة مع المجموعة الأساسية يعطي المجموعة الأساسية .
الاجتماع عملية تبديلية و يمكن تبديل أماكن الاقواس .
اذا كانت مجموعة تحوي مجموعة أخرى فان الاجتماع بينهما يعطي المجموعة الكبيرة .
- فرق مجموعتين :
فرق مجموعتين يعني العناصر الموجودة بالمجموعة الأولى وليست موجودة بالمجموعة الثانية .
مثال :
- مكمل المجموعة :
مكمل المجموعة هو كل العناصر الموجودة في المجموعة الاكبر ما عدا العناصر الموجودة في المجموعة ذاتها .
مثال :
مكمل الفاي يعطي المجموعة الأساسية والعكس صحيح , مكمل المجموعة الصحيحة يعطي فاي .
مكمل مكمل مجموعة يعطي المجموعة نفسها .
مكمل المجموعة يساوي فرق المجموعة مع المجموعة الأساسية .
تقاطع المجموعة مع مكملها يعطي فاي واجتماعهم يعطي المجموعة الأساسية .
- الأشكال في المجموعات :
لحل هذا النوع من الأسئلة اسهل طريقة ان نجرب الأجوبة لأنه يمكن التعبير عن قطعة واحدة بطرق مختلفة وتكمن القوة بحل هذه الأسئلة عن طريق التمرس بعدد كبير منها .
مثال :
في هذا المثال أولا نأخذ تقاطع ال A و ال C .
يصبح لدينا نصف الدائرة اليساري بالكامل نستثني منه ال B لنحصل على القطعة المطلوبة فقط .
- قواعد هامة :
اذا كان عناصر المجموعات معروفين فلا حاجة لهذه القواعد .
مثال :
قاعدة دي مورغان :
عند اخذ مكمل تقاطع او اجتماع مجموعتين فإننا نأخذ مكملات المجموعات و نعكس الإشارة بينهم .
مثال :
اذا كانت مجموعة كبيرة تحوي مجموعة صغيرة فان مكمل المجموعة الصغيرة يحوي مكمل المجموعة الكبيرة .
- عد العناصر :
لإجاد عدد عناصر اجتماع مجموعتين نجمع عدد عناصر المجموعتين ونطرح منهم عدد العناصر المشتركة بينهما .
لإجاد عدد عناصر تقاطع ثلاث مجموعات نجمع عدد عناصر المجموعات ونضيف عدد عناصر تقاطع الثلاث مجموعات مع بعضها ونطرح عدد عناصر تقاطع كل مجموعتين على حدا .
لإجاد عدد عناصر فرق مجموعتين نطرح عدد عناصر التقاطع بينهما من عدد عناصر المجموعة الأولى .
مثال :
