شرح قواعد الدرس
- تحويل قيم الزوايا :
للزوايا ثلاث وحدات قياس هم الدرجة و الجراد و الراديان .العلاقة بينهم تكون على الشكل التالي :
مثال :
حول الزوايا التالية الى راديان :
حول الزوايا التالية الى درجة :
- مكونات الدرجة :
تتكون الدرجة من ستين دقيقة و تتكون الدقيقة من ستين ثانية .
مثال :
اذا كان لدينا عدد الثواني وطلب منا تحويله الى درجات و دقائق وثواني أولا نقسم الثواني على 60 يكون الباقي هو عدد الثواني ثم نقسم الناتج على 60 ويكون الباقي هو عدد الدقائق والناتج هو عدد الساعات .
مثال :
- جمع و طرح الدرجات :
عند جمع زاويتين ننتبه الى ان كل ستين ثانية تعني دقيقة وان كل ستين دقيقة تعتني درجة .
مثال :
عند الطرح أيضا يجب ان ننتبه انه عند استدانة دقيقة يجب ان نضيف الى الثواني ستين ثانية وعند استدانة درجة يجب ان نضيف للدقائق ستين دقيقة .
مثال :
- المقياس الأساسي :
قياس أي زاوية يعبر عن الشكل التالي :
اذا كانت الزاوية في واحد من المجالات التالية فهذا يعني ان الزاوية تدور بعكس اتجاه عقارب الساعة كما في الشكل السابق .
اما اذا كانت الزاوية في واحد من المجالات التالية فهذا يعني ان الزاوية تدور باتجاه عقارب الساعة .
اذا كانت الزاوية اكبر من المجال الأول او اصغر من المجال الثاني هذا يعني ان الزاوية تكمل عدد دورات معينة ثم تشكل زاوية معينة .
مثلا اذا كانت الزاوية 400 درجة عند اول 360 درجة تكمل الزاوية دورة ويبقى 40 درجة اذا هذه الزاوية متساوية من الزاوية التي تكون زاويتها أربعين .
اما اذا كانت الزاوية بالراديان فإننا نطرح (2 pi) حتى يصبح الناتج اقل من دورة كاملة .
مثال :
اوجد المقياس الأساسي للزوايا التالية :
- التريجونومتري :
التريجونومتري او المعادلات المثلثية يتم ايجادها بناء على المثلثات القائمة .
المعادلات المثلثية هم المعادلات التالية :
اذا كان لدينا المثلث التالي :
يعتبر الضلع b ضلع مجاور والضلع d ضلع مقابل وال c وتر .
المعادلات المثلثية الخاصة بهذه الزاوية كالتالي :
مثال :
- إيجاد أطول الاضلاع بناء على معادلة مثلثية :
اذا كان لدينا معادلة مثلثية لزاوية ما بإمكاننا إيجاد باقي المعادلات عن طريق رسم المثلث القائم الخاص بالزاوية وتطبيق قاعدة فيثاغورث .
مثال :
بإمكاننا أيضا الاستفادة من المعادلات المثلثية بالشكل التالي :
مثال :
- معادلات لازمة :
لتبسيط المعادلات التي تحتوي على نسب مثلثية يوجد معادلات يجب معرفتها .
مثال :
مثال :
- الزوايا الشهيرة :
الزوايا الشهيرة هم 30,45,60 ويتم استنتاج المعادلات المثلثية الخاصة بهذه الزوايا عن طريق رسم المثلثات الخاصة بهم .
مثال :
- متممة الزاوية :
متممة الزاوية هي الزاوية التي تكمل الزاوية الأساسية الى 90 .
يعني ان متممة الزاوية 50 هي الزاوية 40 .
ساين أي زاوية يساوي كوساين متممها .
و تانجان أي زاوية يساوي كوتانجان متممها .
مثال :
- دائرة الوحدة :
تسمى هذه الدائرة دائرة الوحدة و بنائا عليها يتم إيجاد كل قيم المعادلات المثلثية .
نستنتج من هذه الدائرة التالي :
لان التانجان هي عبارة عن قسمة الساين على الكوساين والكوتانجان عبارة عن قسمة الكوساين على الساين نستنتج التالي :
مثال :
- مناطق المعادلات المثلثية :
المعادلات المثلثية تكون اشارتها حسب المنطقة التي تنتسب اليها اول نوجد القيمة العددية عن طريق المثلث القائم ونضع الإشارة التي تفرضها عليها الزاوية .
تكون إشارات المعادلات المثلثية على الشكل التالي :
مثال :
الان لدينا كل قيم المثلث عند كتابة المعادلات المثلثية يجب ان ننتبه اننا في المنطقة الثانية .
- مكملة الزاوية :
مكملة الزاوية هي الزاوية التي تكمل الزاوية الأساسية الى 180 درجة .
في حال كانت الزاوية المستخدمة في المعادلة المثلثية سالبة تخرج إشارة السالب الى خارج المعادلة في كل المعادلات ما عدا الكوساين حيث انها تبتلع إشارة السالب .
مثال :
بإمكاننا إيجاد المعادلات المثلثية للزوايا المنفرجة عن طريق الاستفادة من الزوايا الأساسية (90,180,270,360) ويجب ان تكون إشارة المعادلة المثلثية حسب منطقة الزاوية المنفرجة .
اذا اوجدنا المعادلة المثلثية لزاوية من فرجة باستخدام 90 او 270 فإن المعادلة المثلثية تتغير .
اما اذا اوجدناها باستخدام 180 او 360 فإن المعادلة لا تتغير .
مثال :
- مقارنة المعادلات المثلثية :
اسهل طريقة لمقارنة المعادلات المثلثية هي تحويل الكوساين الى ساين و مقارنة الزوايا والمعادلة صاحبة الزاوية الأكبر تكون المعادلة الأكبر .
و تحويل الكوتانجان الى تانجان و مقارنة الزوايا والمعادلة صاحبة الزاوية الأكبر تكون اكبر .
مثال :
و لمقارنة التانجان بالساين في حال كانت الزوايا متشابهة و قيمتها ما بين ال 0 و ال 90 درجة يكون الساين اصغر من التانجان .
وإن لم تكون الزاوية في المجال المطلوب نحولها لتصبح ضمن المجال .
مثال :
اما اذا زوايا التانجان والساين مختلفات نستفيد من ان الساين قيمته محصورة بين الواحد والناقص واحد و ان تانجان ال 45 يساوي الواحد .
بشكل عام لحل مقارنات المعادلات المثلثية يجب استحضار دائرة الوحدة ومعرفة ما تعنيه كل معادلة .
مثال :
نعلم ان اقصى عدد ممكن ان يبلغه الساين هو واحد اذن b اصغر من الواحد .
تانجان ال 45 تساوي الواحد تبقى قيمة التانجان بالارتفاع مع ارتفاع الزاوية الى ان تصبح الزاوية 90 ثم تبدأ قيمته بالانخفاض لذلك a اكبر من الواحد .
إذن :
- جرافيك المعادلات المثلثية و البريود :
للمعادلات المثلثية الجرافيكات التالية :
جرافيك ساين :
جرافيك كوساين :
جرافيك تانجان :
جرافيك كوتانجان :
البريود هو المدة التي يستغرقها الجرافيك ليكمل دورة ثم يعود ليكرر نفسه و هي بريود كل جرافيك هو ما بين الخطوط الحمراء في الجرافيكات السابقة .
يرمز للبريود P.
لإيجاد بريودات المعادلات المثلثية نطبق القواعد التالية :
بريود جمع معادلتين مثلثتين هو المضاعف المشترك الأصغر لبريود كل معادلة منهم .
مثال :
- معكوس المعادلة المثلثية :
معكوس المعادلة المثلثية يكتب داخله قيمة وتكون نتيجته زاوية
مثال :
في هذا السؤال المجهول هي الزاوية التي ساينها قيمته واحد .
ملاحظة :
تحل أسئلة معكوس المعادلة المثلثية عن طريق فرض ان المعكوس يساوي زاوية ومن ثم نرسم مثلثها ونوجد القيم المطلوبة .
مثال :
- قواعد الزوايا المجموعة والمطروحة :
ملاحظة :
هذه القواعد لا يمكن استنتاجها ويجب حفظها كما هي .
مثال :
- مضاعف الزاوية :
هذه المعادلات في حال توفرت المعادلة المثلثية لزاوية و طلب المعادلة المثلثية لضعف الزاوية المعطى او العكس .
ملاحظة :
نستطيع استنتاج هذه المعادلات بناء على معادلات الزوايا المجموعة كما في المثال التالي :
مثال :
- جمع وطرح المعادلات المثلثية :
مثال :
- ضرب المعادلات المثلثية :
يمكننا استنتاج المعادلات التالية باستخدام معادلات جمع و طرح المعادلات المثلثية .
مثال :
- تساوي معادلتين مثلثتين :
للقواعد التالية تعليلات طويلة لذلك يفضل حفظها بشكل مباشر .
مثال :
- المعادلة المتناسقة :
المعادلة المتناسقة هي معادلة على الشكل التالي :
تحل هذه المعادلة بالطريقة التالية :
مثال :
